Kümeler
Çeşitli nesnelerin bir araya gelmesiyle oluşan gruplar küme olarak adlandırılır.
Kümeler genellikle büyük harflerle isimlendirilirken elemanları ise küçük harflerle gösterilir.
ÖRNEK:
Kış mevsiminde yer alan ayların kümesini farklı şekillerde gösterelim.
Verilen kümeyi K harfi ile isimlendirelim.
K = {Aralık, Ocak, Şubat}
K = {Kış mevsiminin ayları}
***
Bir kümeye ait olan nesnelerin her biri ait olduğu kümenin bir elemanıdır. Küme içinde bir eleman yalnız bir kez yazılır.
Kümeler üç farklı biçimde gösterilir:
Bir kümeye ait olan nesnelerin her biri ait olduğu kümenin bir elemanıdır. Küme içinde bir eleman yalnız bir kez yazılır.
Kümeler üç farklı biçimde gösterilir:
• Kümenin elemanlarının kapalı bir eğri içinde, önlerine nokta koyarak yazılmasına Venn Şeması yöntemiyle gösterim denir.
• Liste yöntemiyle gösterimde kümenin elemanları tırnaklı ayraç içinde, virgül ile ayırarak {..., ..., ...} şeklinde sıralanır.
• Kümeyi oluşturan elemanların ortak özelliğini küme parantezi içine yazarak kümenin tanımlanmasına ortak özellik yöntemiyle gösterim denir.
ÖRNEK:
5’ten küçük doğal sayıların oluflturduğu kümeyi üç farklı şekilde gösterelim.
Venn şeması yöntemi
Liste yöntemi
A = {0, 1, 2, 3, 4}
Ortak özellik yöntemi
A = {5’ten küçük doğal sayılar}
***
sembolü kümeye ait olma, 
sembolü ise kümeye ait olmama anlamına gelir.Bir A kümesi verildiğinde bu kümenin eleman sayısını sembolle “s(A)” biçiminde gösteririz.
ÖRNEK:
“Marmara” kelimesindeki harflerin kümesini yazarak eleman sayısını belirleyelim.
ÇÖZÜM:
“Marmara” kelimesindeki harflerin kümesini M ile gösterelim.
Bir kümede bir eleman yalnız bir kez yazılabileceğinden M = {m, a, r} olur.
M kümesinin elemanlarını m M , a M , r M şeklinde gösteririz.
Bir kümede bir eleman yalnız bir kez yazılabileceğinden M = {m, a, r} olur.
M kümesinin elemanlarını m
M , a M , r M şeklinde gösteririz.m, a, r harfleri dışındaki harfler M kümesinin elemanı değildir.
Örneğin; p
M , e M şeklinde gösterebiliriz.M kümesinin üç tane elemanı olduğundan bu durumu sembolle s(M) = 3 şeklinde gösteririz.
***
Belirli bir alandaki nesnelerin tümünü içeren kümeye evrensel küme denir. Evrensel küme “E” ile gösterilir.
ÖRNEK:
4, 8, 12, 16, ... örüntüsündeki sayıların oluşturduğu kümenin elemanlarını içeren en geniş kümeyi yazaım.
ÇÖZÜM:
Örüntüyü oluşturan sayıların her biri çift doğal sayıdır.
Ç = {Çift doğal sayılar} kümesi örüntüdeki her bir sayıyı içerir. Fakat Ç kümesi en geniş küme değildir.
E = {Doğal sayılar} kümesi, hem çift sayılar kümesinin hem de 4, 8, 12, 16, ... örüntüsündeki sayıların her birini içerir. Bu nedenle yazılabilecek en geniş küme “Doğal Sayılar” kümesidir.
E kümesi 4, 8, 12, 16, ... örüntüsündeki sayıların kümesi için bir evrensel kümedir.
***
Elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme “Ø” veya “{ }” sembolü ile gösterilir.
ÖRNEK:
K = {Karesi kendisinden küçük olan doğal sayılar} kümesinin elemanlarını liste yöntemi ile yazalım.
K = {Karesi kendisinden küçük olan doğal sayılar} kümesinin elemanlarını liste yöntemi ile yazalım.
ÇÖZÜM:
Bir sayının karesi kendisiyle çarpımına eşit olduğundan bir doğal sayının karesi her zaman kendisinden büyüktür. Bu nedenle K kümesinin elemanı yoktur.
s(K) = 0’dır. O hâlde K kümesi “boş küme”dir.
s(K) = 0’dır. O hâlde K kümesi “boş küme”dir.
K kümesini K = Ø veya K = { } şeklinde gösteririz.
KÜMELERLE İŞLEMLER
İki kümenin ortak elemanlarının oluşturduğu kümeye kesişim kümesi denir.
Kesişim işlemi “
” sembolüyle gösterilir.
A ve B iki küme olmak üzere bu kümelerin kesişimi “AB” şeklinde gösterilir.
Her iki kümenin ortak elemanları ortada renkli şekilde gösterilmiştir.
{börek, kek, içecek} hem A kümesinin hem B kümesinin elamanı olduğu için ortak elamanlardır. A kesişim B'yi temsil eder.
AB = {börek, kek, içecek}
Kesişim işlemi “
” sembolüyle gösterilir.A ve B iki küme olmak üzere bu kümelerin kesişimi “A
B” şeklinde gösterilir.Her iki kümenin ortak elemanları ortada renkli şekilde gösterilmiştir.
{börek, kek, içecek} hem A kümesinin hem B kümesinin elamanı olduğu için ortak elamanlardır. A kesişim B'yi temsil eder.
A
B = {börek, kek, içecek}***
İki kümedeki elemanların tümünden oluşan kümeye birleşim kümesi denir.
Birleşim işlemi “
” sembolüyle gösterilir.
A ve B iki küme olmak üzere bu kümelerin birleşimi “AB” şeklinde gösterilir.
Tüm ürünler birleşim kümesini temsil eder.
AB = {patates salatası, dolma, börek, kek, içecek, meyve, kuru yemiş, kurabiye, poğaça}
***
Bu durumda A kümesinin B kümesinden farkı, A
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} olur.
Bu durumda B kümesinin A kümesinden farkı, BA = {11, 12, 13} olur.
İki kümedeki elemanların tümünden oluşan kümeye birleşim kümesi denir.
Birleşim işlemi “
” sembolüyle gösterilir.A ve B iki küme olmak üzere bu kümelerin birleşimi “A
B” şeklinde gösterilir.Tüm ürünler birleşim kümesini temsil eder.
A
B = {patates salatası, dolma, börek, kek, içecek, meyve, kuru yemiş, kurabiye, poğaça}***
A ve B herhangi iki küme olmak üzere A’da olup B’de olmayan elemanlardan oluşan kümeye “A kümesinin B kümesinden” farkı denir.
A kümesinin B kümesinden farkı “A-B” veya “AB” şeklinde gösterilir.
A kümesinin B kümesinden farkı “A-B” veya “A
B” şeklinde gösterilir.A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanların kümesi, {1, 2, 3, 4, 5, 6}’dır.
Bu durumda A kümesinin B kümesinden farkı, A
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} olur.B kümesinde olup A kümesinde olmayan elemanların kümesi, {11, 12, 13}’tür.
Bu durumda B kümesinin A kümesinden farkı, B
A = {11, 12, 13} olur.***
Verilen bir kümede olmayan ancak evrensel kümede olan elemanların oluşturduğu kümeye bu kümenin tümleyeni denir.
A kümesinin tümleyeni
ile gösterilir.
ÖRNEK:
S = {Sonbahar mevsiminin ayları}
Buna göre S kümesinde olmayıp E kümesinde olan elemanların oluşturduğu küme S kümesinin tümleyenidir.
= {aralık, ocak, şubat, mart, nisan, mayıs, haziran, temmuz, ağustos}
A kümesi B kümesinin alt kümesi değilse bu durum “A
B” şeklinde gösterilir.
Aynı zamanda B kümesi A kümesini kapsamaması durumu “B
A” şeklinde gösterilir.
ÖRNEK:
ÖRNEK:
Verilen bir kümede olmayan ancak evrensel kümede olan elemanların oluşturduğu kümeye bu kümenin tümleyeni denir.
A kümesinin tümleyeni
ile gösterilir.ÖRNEK:
E = {Aylar}
S = {Sonbahar mevsiminin ayları}
Buna göre S kümesinde olmayıp E kümesinde olan elemanların oluşturduğu küme S kümesinin tümleyenidir.
= {aralık, ocak, şubat, mart, nisan, mayıs, haziran, temmuz, ağustos}***
A ve B iki küme olmak üzere, A’nın her elemanı B’nin de elemanı oluyorsa A kümesine B kümesinin alt kümesi denir.
A kümesi B kümesinin alt kümesi olma durumu “A.jpg)
B” şeklinde gösterilir.
Aynı zamanda B kümesi A kümesini kapsadığından “B.jpg)
A” şeklinde de gösterilir.
A ve B iki küme olmak üzere, A’nın her elemanı B’nin de elemanı oluyorsa A kümesine B kümesinin alt kümesi denir.
A kümesi B kümesinin alt kümesi olma durumu “A
B” şeklinde gösterilir. Aynı zamanda B kümesi A kümesini kapsadığından “B
A” şeklinde de gösterilir.A kümesi B kümesinin alt kümesi değilse bu durum “A
B” şeklinde gösterilir.Aynı zamanda B kümesi A kümesini kapsamaması durumu “B
A” şeklinde gösterilir.ÖRNEK:
A kümesinin bütün elemanları aynı zamanda B kümesinin de elemanı olduğundan A kümesinin bütün elemanlarını içeren küme B kümesidir.
AB
BA
A
BB
AÖRNEK:
C kümesinin elemanlarının tamamı B kümesinde olmadığından B kümesi C kümesini kapsamaz.
CB
BC
C
BB
C***
Her küme kendisinin alt kümesidir. Örneğin AA dır.
Her küme kendisinin alt kümesidir. Örneğin A
A dır.Boş küme bütün kümelerin alt kümesidir. Örneğin ØA
A***
Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir. A ve B kümeleri denk kümeler ise bunu A
B şeklinde gösteririz.
Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir. A ve B kümeleri denk kümeler ise bunu A
B şeklinde gösteririz.***
Ortak elemanı olmayan kümelere ayrık kümeler denir. Ayrık kümelerin kesişimleri boş kümedir.
Ortak elemanı olmayan kümelere ayrık kümeler denir. Ayrık kümelerin kesişimleri boş kümedir.
***
Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. A ve B kümeleri eşit ise bunu A = B şeklinde gösteririz.
Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. A ve B kümeleri eşit ise bunu A = B şeklinde gösteririz.